Родился в семье почтового служащего Поздеева Геннадия Даниловича и его супруги Евдокии Ивановны.

Работал помощником кочегара. В годы Великой Отечественной войны служил на Дальневосточном флоте.

Живопись начал постигать самостоятельно: посещал выставки, музеи и галереи, изучал творчество великих мастеров прошлого, читал книги, писал с натуры. Впоследствии закончил Красноярскую художественную школу имени В. И. Сурикова (учитель — А. П. Лекаренко).

Персональные выставки художника проходили в музеях Таллина (1984 г.; при содействии О. Субби) и Риги, в Государственном музее, в Государственной Третьяковской галерее, в Центральном доме художника в Москве. Картины Андрея Поздеева находятся во многих музеях мира, в том числе в Третьяковской галерее и в Русском музее. Значительные собрания картин художника имеется в собрании Красноярского государственного художественного музея имени В. И. Сурикова и Норильской художественной галереи.

Андрей Геннадьевич Поздеев включён в международный художественный рейтинг (всемирный рейтинг художников XVIII—XXI веков, формирующих мировое художественное наследие).

Художник скончался 12 июля 1998 года в своей мастерской в Красноярске.